Cierre de Trabajo

Seguramente este será el mensaje que verán cuando entren a evaluarnos por el trabajo solicitado.

Ha sido mucho el esfuerzo y el camino recorrido para llegar a este resultado.

Estamos inmensamente felices al ver y navegar por esta sección pero más alegría sentimos porque nos ha unido para otros proyectos que emprenderemos en el futuro.

Agradecidos estaremos que dejen sus comentarios.

Clickee aqui para conocer el guión de la película

Los invitamos a recorrerlo y que lleguen al principio...para encontrar algunas sorpresas...

Conclusiones del trabajo grupal...

Felicitaciones por el excelente trabajo!

Luego de este interesante análisis, estamos en las puertas del estudio de los fractales.

Si quieren ir avanzando en el tema, pueden ver materiales en:

http://es.geocities.com/snow_parra/Fractartmat/Fractartmat.htm

Para los que quieran profundizar en el tema de las matemáticas y la música, pueden seguir el siguiente vínculo:

http://www.wikilearning.com/musica_y_matematicas-wkc-2026.htm

Y pueden encontrar fantásticas fotos de Matemática en la naturaleza, en el sitio indicado por el Grupo 2:

http://www.sectormatematica.cl/fotos.htm

Nos vemos en la próxima clase, donde cada grupo mostrará la presentación realizada para una explicación presencial de sus análisis.

Prof. Gregory.

Siguiendo con funciones tridimensionales...

Hola!

Por suerte este trabajo es más fácil, ya que los grupos anteriores nos facilitaron la vida...

La idea es realizar un dibujo coloreado para una función tridimensional, tal como hicieron nustros queridos compañeros del grupo anterior (que era el 4)

Para poder realizar un dibujo, necesitamos una función que no se nos "escape" de los valores pequeños, para que no ocurra lo que vimos en el caso anterior, cuando la exponencial tomaba valores demasiado grandes y no permitía "ver" lo que ocurría con valores cercanos a 1.

Para esto, realizamos una función trigonomética, que escribimos así:

z=sin(x)*sin(y)

Esto nos garantiza que los valores no superarán la amplitud máxima de 1.

Realizada la gráfica, nos encontramos con esto:



Quizá quede más clara si la vemos desde arriba, gracias a los colores asignados:


Se puede observar que esta función obtiene el valor máximo 1 en los puntos donde sin(x) y sin(y) valen 1 (ambos) o -1 (ambos, ya que su producto es positivo).
Observen que estos valores máximos corresponden, en el plano horizontal, a valores de x e y de 1,6, que corresponde a π/4.
Asimismo, toman el valor mínimo (-1) cuando sin(x) y sin(y) tienen el máximo valor absoluto (1) y ambos tienen diferente signo.
Esto ocurre en los cuadrantes II y IV.

Consideramos que este proceso grupal ha sido muy significativo, ya que con este análisis llegamos a las puertas de las gráficas de los fractales.
Para obtener esos dibujos coloridos, se asignan colores según el valor que obtiene la función en los distintos puntos del plano. Para ese particular, las funciones no tienen esta forma simplificada que nosotros usamos, sino que utilizan fórmulas recursivas, pero ese es otro tema.
Ahora si estamos preparados para continuar con los estudios de las funciones, pensando en los significados que hemos visto.

Nos vemos!

Analizando funciones tridimensionales...

Hola!

Parece que nos tocó la más difícil, pero también la más divertida:

Analizamos una función tridimensional. Para que esta función no se nos escapara a valores muy grandes, combinamos la exponencial del grupo anterior, con exponentes "negativos"
(luego explicaremos el por qué de las comillas)

Para graficar en tres dimensiones, debemos asignar valores a las dos variables del plano, x e y, para obtener los correspondientes valores numéricos de z.

Utilizamos z=exp(-x^2-y^2)

De esta forma, garantizamos que el exponente es negativo y los valores irán disminuyendo.

He aquí el gráfico:

¿Qué les parece?

Además asignamos colores para los diferentes valores de z, de manera de dejarla más bonita campana de Gauss en 3 dimensiones!

¿Quieren verla desde arriba? (para eso están los colores!):

Para variar algunos parámetros cambiamos la ecuación a y=exp(-x-y^2).

En este caso, observamos que ya no se muestra como una campana en las tres dimensiones.

Las comillas en el negativo se justifican ahora, ya que para valores negativos de x, -x es positivo, lo que modifica la primera intención de acotar los valores máximos de la función.

Mirémosla de arriba:

¿No está bonita?

Y para seguir haciendo variaciones suprimimos el exponente 2 del valor de -y^2, razón por la cual ese término puede ser positivo.

Observen lo que obtuvimos:

En este caso, el valor de z aumenta cuando x e y son negativos (-x-y es positivo).

Si alguien pensó en barrer la basura bajo la alfombra, recomiendo esta función!

Vista de arriba:

Observen que en este caso, la función z adquiere valores muy superiores a los casos anteriores.

Esperamos que este análisis sea provechoso para el último grupo...

Analizando funciones trigonométicas...

Hola a todos!

A nosotros nos tocó el análisis de funciones trigonométricas. Gracias a los grupos anteriores por facilitar este trabajo, ya que la cosa se pone un poco más complicada, porque comenzamos a utilizar funciones con directa aplicación a la vida cotidiana, ¡por lo menos de los músicos! (¿será por eso que los grandes matemáticos muchas veces son músicos?)

Nosotros analizamos una función trigonomética, pero como la función sen(a) es un poco aburrida (se repite mucho) pensamos en lo que ocurre cuando amortiguamos su intensidad, tal como puede ocurrir en una cuerda que vibra. (Guitarra, piano, o el arpa que nos va a tocar el angelito si no terminamos esto a tiempo, ya que Valeria nos mata!)

Utilizamos la función y=sin(x^2)*exp(-x)
En este caso, la función sin(x^2) genera una función con valor máximo 1, y la función exp(-x) provoca la amortiguación.

En realidad, la función que representa mejor una cuerda es sin(kx)*exp(-λt).

Veamos la gráfica:
Aquí podemos observar dos efectos interesantes: parece una sinusoide que se va comprimiendo en el eje de las abscisas (no lo haría si x no estuviera al cuadrado), y también la influencia de la amortiguación que se observa en la disminución del valor absoluto de los máximos (las amplitudes).

Para evaluar que ocurriría en otro caso, graficamos y=sin(x)*exp(-x)
Aquí la amortiguación se ve mucho más clara...
Y para finalizar, realizamos tras gráficas en una, variando también el coeficiente de amortiguación:

En este gráfico observamos:

La gráfica roja tiene igual formato que la azul, pero está menos amortiguada, ya que el coeficiente de la exponencial lo dividimos entre 2.

La gráfica verde se amortigua igual que la azul, ya que el exponencial es el mismo...

¿No les parece fabuloso?

Culminamos, entonces nuestra tarea. Grupo 4: ahora les toca a ustedes!

Suerte en pila!

Analizando funciones cuadráticas...

Hola!

Aquí analizaremos lo que ocurre cuando variamos parámetros en una función de segundo grado de la forma y=ax^2+bx+c
Para poder indentificar las variaciones generadas por cada uno de ellos, los iremos cambiando de a uno.
Esta primera gráfica muestra los diferentes dibujos cuando se varía el coeficiente de segundo grado:
Para ver los efectos del parámetro independiente, mantuvimos el valor del coeficiente de segundo grado constante y el de primer grado en 0.
Esto fue lo que obtuvimos...
Se observa claramente lo que nuestros compañeros de la función lineal comentaban: el término independiente determina solamente el punto de corte de la función con el eje de las ordenadas, lo que puede verse cuando se halla el valor numérico para x=0: a*0^2+b*0+c=c

Pero esto no es todo!

Miren que interesante lo que encontramos cuando variamos el coeficiente de primer grado!

(Les pusimos colores diferentes para que se vea con claridad)

En este caso, el corte en el eje vertical permanece constante (no variamos la "c") y la curvatura también (no variamos la "a").

Lo que produce la variación de la "b" es un desplazamiento en la posición del mínimo de la función, tanto en el eje de las abscisas como en el de las ordenadas.

Profe, había dicho que la posición del mínimo estaba dada por las raíces de la derivada primera, en este caso y'=2ax+b, lo que tiene raíz en x=-b/2a. Aquí queda evidenciado que la posición del mínimo cambia cuando se varía la "b". (Menos mal, menudo susto nos llevaríamos si no coincidiera con lo que Ud dijo!)

Y para terminar, les mostramos una foto!

(Extraida de http://www.sectormatematica.cl/fotos.htm)

Esperamos que sea de utilidad para los demás grupos, y que nos ponga un Sote!

Analizando funciones lineales...

Hola Profe!



Estamos realizando la tarea encomendada del análisis de las funciones lineales. Mostramos aquí una gráfica múltiple de una de estas funciones de la forma y=mx+n.En este caso, variamos el valor de m de 0 a 5, con intervalos de 0,25.



¿Y que observamos?

Vemos que el parámetro que es coeficiente de x determina la pendiente del gráfico. Más exactamente, se puede demostrar que la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de las abscisas corresponde al valor del parámetro "m".En la gráfica sguiente, realizamos la misma operación, pero asignando a "m" valores negativos.

Esto concuerda con la explicación dada.

Para analizar las variaciones con el siguiente parámetro, el valor del término indpendiente, mantuvimos el coeficiente angular en 1 y asignamos números variables a la "n"

Con este ejemplo, se puede ver claramente que el término independiente determina el punto de corte de la función con el eje. Y en este tipo de funciones, no hay más parámetros!
Está bien, profe?